TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi geometri adalah perubahan posisi dan ukuran suatu benda atau objek pada bidang geometri seperti garis, titik, maupun kurva. Oleh karena berkaitan dengan garis dan titik, maka transformasi geometri ini bisa dituliskan dalam bentuk koordinat Cartesius maupun matriks.

Jenis jenis transformasi geometri

Transformasi geometri dibagi menjadi empat jenis, yaitu refleksi,  translasi, rotasi, dan dilatasi. Untuk lebih jelasnya bisa simak penjelasan di bawah ini 

REFKLEKSI

Refleksi atau pencerminan dalam transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi. Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin. Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain. Bayangkan refleksi seperti ketika kamu bercermin! Setiap titik pada bangun datar dipantulkan, seperti melihat bayangan di cermin. Misalnya, jika sebuah titik direfleksikan terhadap sumbu-x, bayangannya akan terbalik di bawah atau di atas cermin, tergantung dimana posisinya. 

Berikut aturan refleksi:

Sifat-Sifat Refleksi Dalam Matematika

Dalam penggunaanya, refleksi memiliki berbagai sifat yang sangat penting untuk Sobat Pijar pahami dan ketahui. Berikut merupakan beberapa sifat refleksi yang perlu kamu ketahui.

1. Jarak titik awal ke cermin akan sama dengan jarak bayangan ke cermin.
2. Garis penghubung antara titik asal ke titik bayangan akan tegak lurus cermin.
3. Semua garis penghubung antara titik asal dan titik bayangan akan saling sejajar. Artinya, tidak akan pernah berpotongan di suatu titik manapun.
4. Pusat refleksi merupakan dianalogikan sebagai cermin.

Rumus Refleksi

Rumus refleksi ini terbagi menjadi dua, yaitu rumus refleksi terhadap sumbu x dan rumus refleksi terhadap sumbu y. Rumus refleksi terhadap sumbu x disebut juga sebagai rumus refleksi pencerminan. Secara umum rumus dari pencerminan terhadap sumbu x yaitu: 

Keterangannya adalah sebagai berikut:
A = titik A
A’ = hasil pencerminan dari titik A
x = titik yang terdapat pada sumbu x
y = titik yang terdapat pada sumbu y
P = pencerminan yang dilakukan terhadap sumbu x

Rumus refleksi terhadap sumbu y tidak jauh berbeda dari pencerminan titik terhadap sumbu x. Refleksi terhadap sumbu y juga memiliki rumus sendiri. Berikut ini adalah rumus yang digunakan untuk mengetahui hasil pencerminan terhadap sumbu y. Jadi rumus yang digunakan adalah: 

Keterangganya adalah sebagai berikut:
A = titik titik A
A’ = hasil pencerminan dari titik A
x = titik yang ada pada sumbu x
y = titik yang ada pada sumbu y
P = hasil pencerminan yang dilakukan terhadap sumbu y

Selain kedua rumus tersebut, ada juga rumus refleksi lainnya, yaitu rumus refleksi transformasi geometri. Jadi, rumus refleksi transformasi geometri yang banyak digunakan adalah: 

Lalu untuk keterangan lengkapnya adalah seperti berikut ini.
(x, y) = titik asal
(x′ y′ ) = titik bayangan
(a b) = vektor translasi

Jenis Jenis Refleksi

• Refleksi Titik pada Koordinat Kartesius

       Refleksi titik adalah proses memantulkan suatu titik terhadap sumbu atau garis tertentu Pada bidang        koordinat kartesius.

• Refleksi Garis pada Koordinat Kartesius

        Refleksi sebuah garis pada bidang koordinat menghasilkan garis baru yang merupakan bayangan            dari garis awal.

• Refleksi Bangun Datar pada Koordinat Kartesius

        Ketika sebuah bangun datar seperti segitiga, persegi, atau persegi panjang direfleksikan, setiap titik         pada bangun tersebut dipantulkan terhadap garis refleksi, baik itu sumbu-x, sumbu-y, atau garis y =         x.

Untuk memperluas pemahaman kalian tentang REFLEKSI, yuk kita simak video di bawah ini! Semoga video ini dapat memberikan insight yang bermanfaat dan membantu kalian memahami materi lebih dalam.

Contoh soal

Garis g ditranslasikan oleh T=(−1,3) dan menghasilkan garis g’:3x–2y−6=0. Maka persamaan garis g adalah …
Diketahui : 
T=(-1,3)
g’:3x–2y−6=0
Ditanya : 
persamaan garis g?
Jawab : 
Berdasarkan kesamaan dua matriks tersebut didapatkan: x’=x−1 dan y’=y+2
Dengan langkah substitusi x’=x−1 dan y’=y+2 ke persamaan garis g′ yaitu 3x−2y−6=0. Maka, akan didapatkan:

3(x−1)–2(y+2)–6=0

3x–3+2y–4–6=0

3x+2y–3–4–6=0 

3x+3y–13=0

 Jadi persamaan garis g adalah 3x+3y–13=0.

TRANSLASI

Translasi atau pergeseran adalah jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu. Translasi (pergeseran) adalah suatu perpindahan semua titik pada suatu bidang dengan jarak (besar) dan arah yang sama. Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya. Contoh sederhana tanslasi adalah pristiwa yang terjadi di prosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (pergeseran awal) dan titik akhir (ujung prosotan).  

Untuk lebih jelas amati contoh gambar di bawah ini!

Gambar 1. Contoh Translasi

Rumus Translasi

Keteranngan:

A (x, y) = Titik koordinat awal

a = Pergeseran pada sumbu x ke kanan (+) ke kiri (-)

b = Pergeseran pada sumbu y ke atas (+) ke bawah (-)

A’ ((x + a), (y + b)) = Koordinat akhir setelah pergeseran

Jenis Jenis Translasi

• Translasi Titik

       Translasi titik adalah perpindahan titik-titik dalam suatu bangun geometri dipindahkan dengan jara        yang sama dan dalam arah yang sama. Suatu titik A (x,y) ditranslasikan oleh T = akan               menghasilkan titik bayangan yaitu A’ (x’,y’), dapat dituliskan dalam rumus:

• Translasi Garis

       Translasi garis adalah suatu transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada ke posisi            baru dengan jarak dan arah tertentu, tanpa mengubah bentuk atau ukuran garis tersebut. Suatu garis         dapat ditentukan persamaan bayanganya oleh translasi dengan langkah - langkah sebagai berikut:

1. Misalkan titik (x, y) terletak pada garis kemudian tentukan titik tersebut sebagaimana cara menentukan bayangan suatu titik oleh translasi.
2.  Dari persamaan x’ dan y’ yang diperoleh, carilah persamaan x dan y sebagai persamaan baru.
   x’ - a = x               y’ – b = y
   x’ = x + a              y’ = y + b
3.  Substitusikan persamaan x dan y ke persamaan garis, sehingga variabel x dan y berubah menjadi x’ dan y’

• Translasi Bangun Datar Koordinat Kartesius

        Transformasi sebuah bangun datar adalah memindahkan atau memetakan semua titik pada bangun         datar tersebut ke tempat lain pada bidang yang sama.

Untuk memperluas pemahaman kalian tentang TRANSLASI, yuk kita simak video di bawah ini! Semoga video ini dapat memberikan insight yang bermanfaat dan membantu kalian memahami materi lebih dalam

Contoh Soal

Translasikanlah segitigan ABC Berikut dengan 

PENYELESAIAN

Berikut gambar dari translasi nya

ROTASI 

Rotasi (perputaran) merupakan transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh α terhadap titik pusat tertentu. Perputaran sejauh α yang bernilai positif maka berputarnya berlawanan dengan arah jarum jam, sebaliknya perputaran sejauh α yang bernilai negatif maka perputaranya searah dengan jarum jam. Menurut Handout rotasi adalah transformasi yang memindahkan suatu titik bangun geometri, caranya memutar titik tersebut terhadap titik pusat.

• Rotasi Positif (Berlawanan jarum jam)

• Rotasi Negatif (Searah jarum jam)

Faktor yang Mempengaruhi Rotasi Matematika

Hasil akhir atau bayangan yang dihasilkan pada peristiwa rotasi dipengaruhi oleh beberapa faktor berikut.

• Titik Pusat Rotasi

        Titik pusat rotasi adalah suatu titik yang menjadi acuan pergerakan putaran dari titik awal ke titik             akhir. Titik pusat rotasi dibagi menjadi dua, yaitu titik (0, 0) dan titik (a, b)

1. Jika Quipperian ingin merotasikan suatu bangun dari titik (0, 0), itu artinya bangun tersebut diputar sejauh α dari titik (0, 0).
2. Jika Quipperian ingin merotasikan suatu bangun dari titik (a, b), itu artinya bangun tersebut diputar sejauh α dari titik (a, b).

• Besar Sudut Rotasi

       Pada translasi, besar sudut rotasi ini bisa dianalogikan sebagai jumlah pergeseran suatu bangun atau         titik. Besar kecilnya perputaran suatu bangun atau titik dipengaruhi oleh besar sudut rotasinya

• Arah Rotasi

        Arah rotasi menunjukkan arah putaran titik atau bangun. Arah rotasi berpengaruh pada tanda sudut         rotasinya seperti pada pembahasan di atas.

        Contoh:

1. α = 90^o, artinya suatu titik diputar sejauh 90^o  berlawanan dengan arah putaran jarum jam.
2. α = -90^o, artinya suatu titik diputar sejauh 90^o searah dengan arah putaran jarum jam.

Jenis - Jenis Rotasi

Rotasi Titik

1. Rotasi Titik terhadap Tiitk pusat (0,0) 
   Rotasi suatu titik terhadap pusat O (0,0) dapat ditulis secara umum:
   
   

2. Rotasi Titik terhadap Tiitk pusat (a, b)
   Rotasi suatu titik terhadap pusat O(a,b) dapat ditulis secara umum:
   

   

Rotasi Garis

1. Rotasi Garis terhadap Tiitk pusat (0,0)
   Rotasi suatu titik terhadap pusat O(0,0) dapat ditulis secara umum:
   

   
   
   
   

Rotasi Garis terhadap Titikk pusat (a, b)

Rotasi suatu garis terhadap pusat O(a,b) dapat ditulis secara umum:

Rotasi Bangun Datar Koordinat Kartesius
Rotasi bangun datar koordinat kartesius adalah memutar suatu bangun datar di sekitar titik pusat sejauh sudut tertentu. Perputaran titik-titik dalam bidang datar dengan searah atau berlawanan arah jarum jam.

Untuk memperluas pemahaman kalian tentang ROTASI, yuk kita simak video di bawah ini! Semoga video ini dapat memberikan insight yang bermanfaat dan membantu kalian memahami materi lebih dalam

Contoh soal 

Tentukan titik A’ dari rotasi titik A (7, 3) terhadap titik (-2, -4) sebesar 270⁰

(x, y) → (x’, y’) = (y + a – b, -x + a + b)

(7, 3) → (x’, y’) = (3 + (-2 -(-4), -7 + (-2) + (-4)) = (5, -13)

Jadi, nilai A’ adalah (5, -13).

DILATASI

Dilatasi bisa di bayangkan seperti zoom in dan zoom out saat melihat gambar. Ketika kita melakukan dilatasi, ukuran bangun diperbesar atau diperkecil, tetapi tetap menjaga bentuk aslinya. Seperti memperbesar foto tanpa mengubah apa-apa selain ukurannya. Ada faktor skala yang menentukan seberapa besar atau kecil bangun akan jadi. Semakin besar faktor skalanya, semakin besar pula bangunnya! 

Berikut aturan Dilatasi:

Jika suatu titik P (x, y) didilatasi dengan faktor skala k terhadap pusat dilatasi O (0,0), maka titik P′ hasil dilatasi adalah P′ (k ∗ x, k ∗ y).

Faktor skala (k):

• Faktor pengali lebih besar dari satu (k > 1) akan mengakibatkan pembesaran ukuran objek dan searah dengan sudut dilatasi objek awalnya.
• Faktor pengali sama dengan satu (k = 1) maka tidak ada perubahan ukuran atau posisi objek.
• Faktor pengali antara 0 dan 1 (0 < k < 1) mengakibatkan pengecilan ukuran objek dan searah dengan sudut dilatasi awalnya.
• Faktor pengali antara -1 dan 0 (-1 < k < 0) mengakibatkan pengecilan ukuran objek dan memiliki arah yang berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
• Faktor pengali sama dengan -1 (k = -1) maka tidak ada perubahan ukuran objek, namun arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
• Faktor pengali lebih kecil dari -1 (k < – 1) mengakibatkan pembesaran ukuran objek dan memiliki arah berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.

Dengan refleksi, kamu bisa bermain dengan "bayangan," sedangkan dengan dilatasi, kamu bisa "memperbesar" atau "memperkecil" bangun. Seru banget untuk bereksperimen dan melihat bagaimana bentuk-bentuk berubah di papan koordinat!

1. Dilatasi terhadap titik pusat
   Bentuk umum dilatasi titik A terhadap titik pusat (0, 0) bisa dinyatakan sebagai berikut.
   
   
   

   Bentuk penulisan di atas menunjukkan bahwa titik A yang berkoordinat (x, y) mengalami dilatasi terhadap titik pusat (0, 0) dengan faktor pengali k, sehingga menghasilkan titik A’ yang berkoordinat (x’, y’). Nah, koordinat (x’, y’), kamu bisa tentukan menggunakan persamaa matriks seperti di bawah ini.
   

   

   
   
   
2. Dilatasi terhadap titik (a,b)
   Jika titik A mengalami dilatasi terhadap titik pusat (a, b) dengan faktor pengali k, maka secara matematis bisa dinyatakan sebagai:
   

   
   

   Lalu, bagaimana cara menentukan koordinat akhir dilatasinya? Koordinat akhir bisa dicari dengan persamaan matriks berikut.
   

   

Untuk memperluas pemahaman kalian tentang DILATASI, yuk kita simak video di bawah ini! Semoga video ini dapat memberikan insight yang bermanfaat dan membantu kalian memahami materi lebih dalam

Contoh soal Dilatasi

Suatu bangun persegi PQRS memiliki koordinat masing-masing seperti berikut.

• Titik P(2,-2)

• Titik Q(4,-2)

• Titik R(2, -4)

• Titik S(4,-4)

Bangun tersebut ditranslasikan terhadap titik pusat (0,0) dengan faktor pengali 3/2. Gambarkan dilatasi bangun persegi PQRS tersebut!

Pembahasan:
Pertama, kamu harus menentukan koordinat akhir masing-masing titik.
Titik P’

Dengan demikian, koordinat titik P’ = (3,-3).

Titik Q’

Dengan demikian, koordinat titik Q’ = (6,-3).

Titik R’

Dengan demikian, koordinat titik R’ = (3,-6).

Titik S’

Dengan demikian, koordinat titik R’ = (6, -6).

Jika kedua bangun digambarkan dalam koordinat Cartesius, diperoleh gambar seperti berikut.

QUIZ

Ayo selesaikan soal di bawah ini !!!

Nah setelah kalian selesai memahami materi dan dan menyimak video pembelajaran  yang di jelaskan dan yang di berikan di atas. Untuk menguji pemahaman kalian, kalian bisa mencoba mengerjakan soal di bawah ini!

1. Perhatikan kondisi awal titik A sebelum refleksi di bawah. Jika siswa bernama Kevin mengatakan hasilnya adalah (3,8) sementara siswa lain yakni Cael menyatakan (8,3), siapakah yang jawabannya benar?
   

   

2. Bayangan titik P(a,b) oleh rotasi terhadap titik pusat (0,0) sebesar −90∘ adalah P′ (−5, −2). Tentukan nilai dari a + 2b =.....

3. Bayangan titik P (5,4) jika didilatasikan terhadap pusat (−2, −3) dengan faktor skala −4 adalah .....

JAWABANNYA BISA KALIAN KETIK DI KOLOM KOMENTAR YANG TELAH DI SEDIAKAN!!

SELAMAT MENGERJAKAN!!

RUANG KOLABORASI

Jika ada yang belum kalian pahami dari materi di atas atau ada yang ingin di tanyakan bisa di tanyakan melalui kolom komentar yang telah di sediakan.